Высшая математика в примерах и задачах. В 3 т. Черненко В.Д.

 Предлагаемое учебное пособие содержит краткий теоретический материал, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные методы решения.

ОГЛАВЛЕНИЕ. Том 1.
ПРЕДИСЛОВИЕ 8
Глава 1
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 11
1.1. Определители. Способы вычисления —
1.2 Системы линейныых уравнений. Правило Крамера 22
1.3. Основные определения теории матриц. Сложение и умножение матриц 31
1.4. Транспонирование матрицы 39
1.5. Обратная матрица 41
1.6. Матричный метод решения системы линейных уравнений 45
1.7. Решение системы линейных уравнений методом исключения (метод Гаусса) 46
1.8. Ранг матрицы 50
1.9. Решение системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли 55
Глава 2
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 63
2.1. Векторные и сг.алярные величины. Линейные операции над векторами —
2.2. Разложение вектора по координатным осям 72
2.3. Скалярное произведение 78
2.4. Векторное произведение 85
2.5. Смешанное произведение векторов 89
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 95
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. Длина и направление отрезка —
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника. Центр тяжести 99
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое истолкование неравенства и системы неравенств первой степени 106
3.4. Задачи на прямую линию 116
3.5. Уравнение линии как геометрического места точек 132
3.6. Кривые второго порядка 136
3.7. Преобразование декартовых координат 153
3.8. Полярная система координат. Уравнения кривых 161
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых 170
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 173
4.1. Системы координат —
4.2. Плоскость 175
4.3. Прямая линия 182
4.4. Прямая и плоскость 186
4.5. Поверхности второго порядка 191
4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя неизвестными в пространстве 203
4.7. Параметрические уравнения пространственных кривых ..207
Глава 5
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 209
5.1. Линейные преобразования —
5.2. Разложение векторов по базису. Арифметические векторы 214
5.3. Собственные числа и собственные векторы матрицы 220
5.4. Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду 223
Глава 6
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 227
6.1. Множества и операции над ними 227
6.2. Логическая символика 229
6.3. Понятие о функции 230
6.4. Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей 239
6.5. Непрерывность и точки разрыва функции 252
Глава 7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 265
7.1. Вычисление производных —
7.2. Производные функций, не являющихся явно заданными ..279
7.3. Производные высших порядков 284
7.4. Дифференциал функции 296
7.5. Приложения производной к задачам геометрии и физики... 3 04
7.6. Теоремы о среднем 315
7.7. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя 320
7.8. Возрастание и убывание функций 325
7.9. Максимум и минимум функции 329
7.10. Наибольшее и наименьшее значение функции 336
7.11. Решение задач на максимум и минимум 340
7.12. Направление выпуклости кривой. Точки перегиба 354
7.13. Асимптоты кривой 357
7.14. Исследование функции и построение графиков 365
7.15. Формула Тейлора и Маклорена 378
Глава 8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 387
8.1. Понятие о функции нескольких переменных. Область определения —
8.2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность 392
8.3. Частные производные первого порядка 394
8.4. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям 399
8.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков 404
8.6. Дифференцирование сложных функций 411
8.7. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций 415
8.8. Замена переменных в дифференциальных выражениях... 429
8.9. Экстремум функции 435
8.10. Наибольшие и наименьшие значения функций 443
8.11. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа 450
Глава 9
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 457
9.1. Касательная и нормаль к плоской кривой —
9.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 460
9.3. Кривизна плоской кривой 470
9.4. Особые точки плоских кривых 483
9.5. Касание кривых между собой 488
9.6. Производная вектор-функции 493
9.7. Естественный трёхгранник пространственной кривой. Касательная и нормальная плоскость к пространственной кривой 500
9.8. Кривизна и кручение пространственной кривой 508
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 513
10.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов и простейшие примеры —
10.2. Непосредственное интегрирование 520
10.3. Интегрирование методом замены переменной 524
10.4. Интегрирование по частям 531
10.5. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен 538
10.6. Интегрирование рациональных дробей 547
10.7. Интегралы от иррациональных функций 560
10.8. Интегрирование тригонометрических функций 572
10.9. Интегрирование гиперболических функций 578
10.10. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла 581
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 583
11.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница —
11.2. Замена переменной в определенном интеграле 587
11.3. Интегрирование по частям 591
11.4. Теоремы об оценке определенного интеграла 594
11.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела .597
11.6. Несобственные интегралы 599
Глава 12
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА К ЗАДАЧАМ ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 611
12.1. Общая схема применения определенного интеграла к вычислению различных величин —
12.2. Площадь плоской фигуры 614
12.3. Объем тела 626
12.4. Длина дуги кривой 638
12.5. Площадь поверхности вращения 645
12.6. Вычисление статических моментов и моментов инерции 651
12.7. Координаты центра тяжести 669
12.8. Приложение определенного интеграла к задачам механики и физики 682
ЛИТЕРАТУРА 704

ОГЛАВЛЕНИЕ. Том 2.
Глава 13
РЯДЫ 
13.1. Числовые ряды. Сходимость рада. Необходимый признак сходимости —
13.2. Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов 8
13.3. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды 19
13.4. Степенные ряды 22
13.5. Функциональные ряды 25
13.6. Числовые и степенные ряды с комплексными членами 29
13.7. Алгебраические действия над рядами 33
13.8. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.... 36
13.9. Разложение функций в степенные рады 38
13.10. Вычисление приближенных значений функций 44
13.11. Интегрирование функций 46
Глава 14
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ... 51
14.1. Общие понятия о дифференциальных уравнениях. Дифференциальные уравнения первого порядка —
14.2. Уравнения с разделяющимися переменными 54
14.3. Однородные уравнения первого порядка 58
14.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли 63
14.5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 70
14.6. Уравнение Лагранжа и Клеро 74
14.7. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной 77
14.8. Другие уравнения, разрешенные относительно производной 82
14.9. Уравнения высших порядков, допускающие понижние порядка 85
14.10. Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 93
14.11. Линейные неоднородные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами 97
14.12. Дифференциальные уравнения Эйлера 116
14.13. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.... 118
14.14. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 148
14.15. Системы дифференциальных уравнений 166
Глава 15
РЯДЫ ФУРЬЕ 173
15.1. Ряд Фурье для функции с периодом 2тг —
15.2. Ряд Фурье для функции с периодом 2/ 183
15.3. Разложение только по косинусам или только по синусам ..189
15.4. Сдвиг основного интервала 192
15.5. Интеграл Фурье 196
Глава 16
КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 199
16.1. Двойной интеграл и его вычисление —
16.2. Двойной интеграл в полярных координатах. Замена переменных в двойном интеграле 210
16.3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности 218
16.4. Вычисление объемов тел 227
16.5. Приложения двойного интеграла к механике 233
16.6. Тройной интеграл 244
16.7. Вычисление величин посредством тройного интеграла 252
16.8. Криволинейные интегралы 262
16.9. Условия независимости криволинейного интеграла от пути. Нахождение функции по ее полному дифференциалу 273
16.10. Вычисление геометрических и физических величин посредством криволинейных интегралов 280
16.11. Поверхностные интегралы 299
16.12. Вычисление величин посредством поверхностных интегралов 305
Глава 17
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 311
17.1. Скалярное поле. Линии и поверхности уровня —
17.2. Производная в данном направлении. Градиент 314
17.3. Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля .... 320
17.4. Дифференциальные операции 2-го порядка 328
17.5. Интегралы теории поля и теории потенциала 331
Глава 18
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 353
18.1. Комплексные числа —
18.2. Функции комплексной переменной 363
18.3. Производная функции комплексного переменного 367
18.4. Интеграл от функции комплексной переменной 374
18.5. Ряды Тейлора и Лорана 380
18.6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов 389
18.7. Конформное отображение 398
Глава 19
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 403
19.1. Преобразование Лапласа, основные свойства и нахождение изображений функций —
19.2. Нахождение оригинала по изображению 409
19.3. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 415
Глава 20
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 423
20.1. Простейшие дифференциальные уравнения в частных производных. Уравнения первого порядка —
20.2. Классификация у равнений второго порядка и приведение к каноническому виду 425
20.3. Метод Даламбера 429
20.4. Метод разделения переменных 430
20.5. Применение двойных и ординарных тригонометрических рядов к решению дифференциальных уравнений 456
20.6. Применение операционного исчисления к решению линейных уравнений в частных производных 460
20.7. Метод Бубнова - Галёркина 466
20.8. Метод последовательных приближений 474
ЛИТЕРАТУРА 477

ОГЛАВЛЕНИЕ. Том 3.
Глава 21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 7
21.1. Некоторые сведения о векторах —
21.2. Определение ортогонального тензора второго ранга 13
21.3. Операции над тензорами , 17
21.4. Функции вектора 22
21.5. Фундаментальный тензор. Символы Кристоффеля 25
Глава 22
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫСШЕГО АНАЛИЗА 31
22.1. Действия с приближенными числами —
22.2. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 38
22.3. Решение системы двух уравнений 48
22.4. Интерполирование функций 52
22.5. Численное дифференцирование функций 58
22.6. Вычисление определенных интегралов 60
22.7. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 66
22.8. Метод коллокаций 76
Глава 23
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 79
23.1. Конечно-разностный метод (метод сеток) —
23.2. Дифференциально-разностный метод (метод прямых) 84
23.3. Метод характеристик численного решения гиперболических систем квазилинейных уравнений 92
23.4. Метод конечных элементов 100
ГЛАВА 24
ЛИНЕЙНОЕ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ . 109
24.1. Решение системы линейных неравенств —
24.2. Основная задача линейного программирования и геометрическая реализация ее в случае двух и трех переменных 116
24.3. Симплекс - метод 124
24.4. Табличный алгоритм отыскания оптимального решения 127
24.5. Транспортная задача 133
24.6. Задачи динамического программирования 143
Глава 25
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ 157
25.1. Основные понятия теории вероятностей —
25.2. Алгебра событий 163
25.3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 165
25.4. Теорема умножения вероятностей 167
25.5. Следствия теорем сложения и умножения 173
25.6. Формула Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей 177
25.7. Наивероятнейшее число появлений события 180
25.8. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона 181
25.9. Интегральная теорема Лапласа 182
Глава 26
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЕЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 185
26.1. Дискретная случайная величина и ее распределение —
26.2. Математическое ожидание и его свойства 188
26.3. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение 190
26.4. Закон больших чисел 193
26.5. Начальные и центральные моменты 197
26.6. Простейший поток событий 199
26.7. Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики 200
26.8. Функция распределения вероятностей случайных величин .. 207
26.9. Функции случайных аргументов 214
26.10. Системы случайных величин 224
26.11. Условные законы распределения вероятностей составляющих системы 231
26.12. Числовые характеристики системы двух случайных величин 235
Глава 27
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 245
27.1. Основные понятия математической статистики —
27.2. Средние значения признака совокупности 254
27.3. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение 258
27.4. Мода и медиана 265
27.5. Доверительные интервалы для средних. Выборочный метод... 267
27.6. Моменты, асимметрия и эксцесс 282
27.7. Условные варианты. Метод расчета сводных характеристик выборки 284
27.8. Элементы теории корреляции 287
Глава 28
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 303
28.1. Основные понятия —
28.2. Сравнения двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей 304
28.3. Сравнение двух средних генеральных совокупностей 310
28.4. Сравнение предполагаемой вероятности с наблюдаемой относительной частотой появления события 319
28.5. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей 321
28.6. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности 324
28.7. Проверка гипотез о других законах распределения генеральной совокупности 331
28.8. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции 336
28.9. Однофакторный дисперсионный анализ 340
28.10. Разыгрывание дискретной случайной величины. Метод Монте-Карло (статистических испытаний) 347
28.11. Разыгрывание непрерывной случайной величины 350
28.12. Оценка погрешности метода Монте-Карло 353
28.13. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло 357
Глава 29
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 361
29.1. Случайные функции и их характеристики —
29.2. Производная и интеграл случайной функции 365
29.3. Стационарные случайные функции и их характеристики 370
29.4. Корреляционная функция производной и интеграла стационарной случайной функции 373
Глава 30
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 375
30.1. Основные понятия системы массового обслуживания (СМО)... —
30.2. Определение цепи Маркова. Матрица перехода 377
30.3. Непрерывные марковские цепи .Уравнения Колмогорова для вероятностей состояния 383
30.4. Универсальные марковские цепи 388
28.4. Одноканальная и многоканальная СМО с отказами 391
28.5. Одноканальная СМО с ожиданием 395
30.4. Многоканальная СМО с ожиданием 401
30.5. СМО с ограниченным временем ожидания 405
30.6. Замкнутые системы СМО 408
30.7. СМО со "взаимопомощью" между каналами 412
Глава 31
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ 417
31.1. Оптимизация планирования комплекса работ —
31.2. Оптимизация размещения узлов почтовой связи 422
31.3. Расчет оптимального числа работников на предприятии 427
31.4. Задача нахождения кратчайшего пути 431
31.5. Алгоритмы определения максимального потока 439
31.6. Задача замены оборудования 443
31.7. Метод наименьших квадратов 444
31.8. Методы расчета надежности 449
ЛИТЕРАТУРА 465
ПРИЛОЖЕНИЕ 466